miércoles, 26 de mayo de 2010

CALCULO INTEGRAL Y APLICACIONES

VOLUMEN DE SOLIDOS POR REVOLUCION
Sea una función definida en el intervalo .
Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de , el eje y las gráficas de y . El eje es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje es un círculo.





Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).


Consideremos una partición del intervalo determinada por el conjunto de números



donde , con .
Sea un aumento de .
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y cuyas bases tienen radios .


El volumen del ésimo disco es:


La suma



de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.
Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:


Si existe un número tal que dada exista para la cual



para toda partición de y todo aumento de , y con , este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de alrededor del eje .
Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación:



utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:



donde .
Luego, de la definición de integral y de la definición de dada, se tiene que




Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado , tales que para . Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones y las rectas con ecuaciones .


Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras).
El sólido generado se muestra en la siguiente figura:



Sea una partición del intervalo determinada por el conjunto de números con para , y sea un aumento de .
En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .



Luego, el área del anillo circular es:



por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será:



Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:



Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.

Definición
Si existe un número tal que dada exista para la cual




para toda partición de y todo aumento de , y con , este número de es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de , , , , alrededor del eje .



Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación


utilizada en la definición 8, puede escribirse como:



donde , .
Luego se tiene que:

________________________________________

EJEMPLO
Volúmenes de cuerpos de revolución

Supongamos que la curva y = f(x) gira al rededor del eje x, y que nos piden que calculemos el volumen que se genera.
El rectángulo de base dx y altura y al girar produce un volumen dV = .y2.dx.
El volumen total será:
Este método se llama método de los discos, porque el sólido se 'sustituye' por discos apilados de altura dx.

Supongamos ahora que la curva y = f(x) gira al rededor del eje y, y que nos piden que calculemos el volumen que se genera.
El rectángulo de base dx y altura y al girar produce un volumen dV = 2..x.y.dx.
El volumen total será:
Este método se llama método de las capas, porque el sólido se 'sustituye' por capas (como una cebolla) de altura dx.
APLICACIÓN A LA CARRERA
Este método es utilizado para hallar volúmenes de sólidos elaborados mediante programas, por ejemplo SOLID EDGE.
A la hora de construir un prototipo de alguna especie, podemos utilizar este método para hallar el volumen del sólido, esto nos permite llevar este modelo a una escala más grande sin necesidad de modificarlo.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada